【C语言】什么是树,二叉树又是啥玩意
慕雪年华

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前言

在之前的数据结构学习中,我们学习了顺序表、链表、栈、队列这几种结构

它们都是用链表或者数组的方式来实现的,主要考察我们对结构体的运用


今天让我们来学习一个新的数据结构,也就是下面这副图里面的

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啊不好意思,图拿错了!😜

是下面这个才对

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1.什么是树?

1.1 树的概念

树是一种非线性的数据结构,它是由n个有限节点组成的具有一定层次关系的集合。

把它叫做树是因为它看起来的确像一个树的根部

当然也可以理解为是树干在上,树叶在下的结构

  • 有一个特殊的节点,被称为根节点,也就是树的开头
  • 除了根节点外,其余节点都是,个互不相交的集合。每一个集合都是一颗与树的结构类似的子树
  • 每一个节点只能有一个前驱,但是可以有很多个后驱
  • 因此,树是递归定义的

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树中的子节点不能有交集

  • 上图中的B节点不能有G这个孩子,因为G已经有父母C了
  • 同理,G节点也不能同时拥有两对父母
  • 子节点之间也不能相连,如E和F不能相连

1.2 树的相关知识点

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节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度; 如下图:A的度为6

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叶节点或终端节点:度为0的节点称为叶节点; 图中B、C、H、I…等节点为叶节点

非终端节点或分支节点:度不为0的节点; 如上图中D、E、F、G…等节点为分支节点

简单的说,就是有娃的节点就是分支节点

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双亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图,D是H的父节点

孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点; 如上图:H是D的孩子节点

兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点; 如下图:P、Q是兄弟节点

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树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度; 示例中树的度为6(即A的度)

节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推

树的高度或深度:树中节点的最大层次; 示例中树的高度为4

堂兄弟节点:双亲在同一层的节点互为堂兄弟;如下图:H、I互为兄弟节点

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节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;示例中A是所有节点的祖先

子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。示例中所有节点都是A的子孙

森林:由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林

多个不相交的树就是森林

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1.3 树的代码表示

表示树的方式有很多种,比如下面这种

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#define N 5 //指定树的度为5
struct TreeNode
{
int data;
struct TreeNode* subs[N];//用指针数组存放孩子节点的指针
};

但这种方法不够优,给大家展示一个用的最广泛的方法——孩子兄弟表示法

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typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType _data; // 结点中的数据域
};

通过这种方法,父亲节点只需要保存它的第一个娃,其他娃就让大娃的兄弟节点来找

也就是家长只用管老大,老大管老二,老二管老三,依次往下……

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实际写代码的结构大概是下图这样

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2.二叉树

在实际中,二叉树是使用较多的一种树的结构

2.1 概念

二叉树是度为2的树,它是一个特殊的树

  • 二叉树不存在度大于2的节点
  • 二叉树是有序树,它的娃(子树)有左右之分,次序不能颠倒

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所以,二叉树都是由下面各类节点组成的树

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2.2 特殊的二叉树

满二叉树是一个特殊的完全二叉树

  • 满二叉树,每一层都是满的
  • 完全二叉树,最后一层必须从左到右连续

满二叉树

满二叉树:如果每一个层的节点数都达到最大值,那这个二叉树就是满二叉树。也就是说:满二叉树的层数为k,且节点总数是2^k^-1

满二叉树的节点数是一个等比数列公式

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完全二叉树

完全二叉树:完全二叉树是效率很高的数据结构。对于深度为K,有n个节点的二叉树,当且仅当每一个节点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的节点一一对应时,称为完全二叉树。

简单说来,完全二叉树的最后一层不一定满,但必须要从左到右连续

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2.3 二叉树的性质

  • 只有一个节点的二叉树,为0
  • 若规定根节点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点
  • 若规定根节点的层数为1,则深度为h的二叉树的最大结点数是(2^h)-1
  • 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0, 度为2的分支结点个数为n2,则有n0 = n2+1
  • 若规定根节点的层数为1,具有n个结点的满二叉树的深度,h=log2(n+1)。 (ps: 是log以2为底,n+1为对数)
  • 对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号,则对于序号为i的结点有:
    1. i>0,i位置节点的双亲序号:(i-1)/2;i=0时为根节点编号,无双亲节点
    2. 2i+1<n孩子序号:2i+1,2i+1>=n否则无左孩子
    3. 2i+2<n孩子序号:2i+2,2i+2>=n否则无右孩子

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2.4 几个选择题

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1. 某二叉树共有 399 个结点,其中有 199 个度为 2 的结点,则该二叉树中的叶子结点数为( )
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
//叶子节点的数量 总比度为2的节点多1

2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中,叶子结点个数为( )
A n √
B n+1
C n-1
D n/2
//N0+N1+N2=2n
//2N0+N1-1=2n
//N1只有0和1两种可能,因为n为整数,2n为偶数,所以2N0=2n,N0=n

3.一棵完全二叉树的节点数位为531个,那么这棵树的高度为( )
A 11
B 10
C 8
D 12
//假设高度是h
//完全二叉树节点最多2^h -1
// 最少2^(h-1)-1 +1
//可以通过这两个公式,推断出h=10

4.一颗完全二叉树第六层的叶子节点为9,那么这棵树的节点数最多为()
A 108
B 109
C 112
D 119
//1
//2
//4
//8
//16
//32
//64 - 9*2
//因为题目中的是第六层的叶子节点,完全二叉树必须从左到右连续,所以说明第六层不只9个节点(那样算出来的结果不对)
//所以是第六层已经满了,第七层没有满
//把第七层去掉9个叶子节点的孩子就能算出最多的节点数

3.二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储,一种顺序结构,一种链式结构

3.1 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储

一般使用数组只适合表示完全二叉树,因为不是完全二叉树会有空间的浪费。

现实使用中只有才会使用数组来存储

下一篇博客会带大家认识这个特殊的树形结构(和内存里面那个堆😂没啥关系哈)

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看到这张图,你肯定想问,如果用数组结构存储,那还怎么还原出一颗树🎄呢?

这里我们需要理解物理存储逻辑结构的关系

二叉树顺序存储在物理上是一个数组,在逻辑上是一颗二叉树

那怎么计算这种情况下的父亲和娃呢?

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leftchild  = parent*2+1
rightchild = parent*2+2
parent = (child-1)/2

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怎么样,是不是忽然感觉

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3.2 链式存储

这就就没啥好说的啦,使用一个简单的二叉链就能构成二叉树

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typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
BTDataType _data; // 当前节点的值
}

4.树转换为二叉树

4.1 说明

有的时候,我们需要将一个没有规律的多叉树转换为二叉树。

我们电脑磁盘的文件夹层级就是一个没有规律的树

不说废话,直接来看栗子;下图就是一个没有啥规律可言的树,我们要做的,就是想办法把它变成一个二叉树!

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当然,如果以写代码的思考角度,在不要求顺序的前提下,我们可以直接遍历这棵树的所有节点,将其存入数组,再用二叉树的方式连接起来(或者直接节点数组当作顺序存储的二叉树)

但是,以应试的角度,只能依照一个特定的方法,将其转成二叉树

4.2 步骤

  1. 连线:将树中具有兄弟关系的结点从左到右依次连线;
  2. 去线:对于树中的每个结点,仅保留与其最左(即第一个)孩子的连线,去掉该结点到其余孩 子的所有连线;
  3. 保留:如果当前节点已经是兄弟中的最左节点(比如上图中的B和E),则保留其与父节点的连线
  4. 整形:调整为标准形状的二叉树(根结点+左子树+右叉树)

依照上面的步骤,我们最终处理出的二叉树是下面的模样

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这里还有第二个栗子

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怎样,你学费了吗?

5.二叉树转成树或者森林

转换步骤是树转换为二叉树方法的逆过程,具体如下:

  1. 整形:将二叉树中的所有结点的左孩子连线调整为垂直形态、右孩子连线调整为水平形态;
  2. 连线:对于任一水平线上的结点,将该水平线上的第一个结点的父节点,与该水平线上的其他结点进 行连线;
  3. 去线:去除所有的水平连线,即删除原二叉树中各结点与其右孩子的连线; 4
  4. 整形:调整步骤3结束之后的树的形状,使其符合树的一般特征要求(父子、兄弟关系清晰)

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以下是俩示例

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结语

嘿嘿嘿,本篇博客到这里就结束啦!

下篇博客将带来的详解

如果对你有帮助,还请点个👍,万分感谢!

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